মাথে মে ট্রিকস সব পর্ব একত্রে

সূর্যনাথ ভট্টাচার্য

সব পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল পূর্ণসংখ্যা হয় না। সেই বর্গমূলগুলিকে বলা হয় অমূলদ রাশি। এগুলিকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না। দশমিকের পরে এরা অসীম সংখ্যক বার কোনও নির্দিষ্ট প্যাটার্ণ ছাড়াই ক্রমাগত চলতে থাকে। যদিও সংখ্যাটি সসীম।

দুইএর বর্গমূল, Ö২— হল প্রথম আবিষ্কৃত অমূলদ রাশি। দশমিক পদ্ধতিতে এর মান 1.414213562…। এই অমূলদ রাশিটির একটি বিশেষ ধর্ম আছে। নীচের সারণীতে তা দেখানো হল— ভগ্নাংশ বাদ দিয়ে পূর্ণাংশগুলি। যথা, প্রথম স্তম্ভে, ১× 1.414…=1.414…এর পূর্ণাংশ, অর্থাৎ ১; দ্বিতীয় স্তম্ভে ২× 1.414…=২.৮২৮…এর পূর্ণাংশ, অর্থাৎ ২; তৃতীয় স্তম্ভে ৩× 1.414…=৪.২৪২…এর পূর্ণাংশ, অর্থাৎ ৪; ইত্যাদি। দেখা যাচ্ছে, এই সারিতে কিছু কিছু পূর্ণসংখ্যা বাদ পড়েছে, যেমন ৩, ৬, ১০, ১৩…। এইগুলি, অর্থাৎ (২)-এ যে পূর্ণসংখ্যাগুলি নেই সেইগুলি তৃতীয় সারিতে পরপর রাখা হয়েছে।

আপাতদৃষ্টিতে কোনও সম্পর্ক না থাকলেও, বিস্ময়কর ভাবে দেখা যাচ্ছে, প্রতি ক্ষেত্রেই (৩) ও (২)-এর বিয়োগফল— চতুর্থ সারি দ্রষ্টব্য— তাদের গুণিতকগুলির দ্বিগুণ— পঞ্চম সারি দ্রষ্টব্য! Ö২-এর অসীম পর্যন্ত বিস্তৃতিতেই এই ধর্মটি বর্তমান।

***

উভয়মুখী অর্থাৎ প্যালিন্ড্রোম নয় এরকম যে কোনও একটা সংখ্যা দিয়ে শুরু করা যাক। ধরো ৩০। একে উল্টোক্রমে লিখলে হয় ০৩ বা ৩। দুটো সংখ্যার সমষ্টি হল ৩৩, একটা প্যালিন্ড্রোম!

যে কোনও সংখ্যার জন্যেই কি এটা হবে? আর একটা দেখা যাক— ধরো ৩৯।–

৩৯ + ৯৩ = ১৩২। না, হল না। কিন্তু এই প্রক্রিয়া চালিয়ে গেলে? দেখা যাক—

১৩২ + ২৩১ = ৩৬৩—প্যালিন্ড্রোম!

তাহলে যে কোনও সংখ্যাকে তার উল্টো সংখ্যার সঙ্গে যোগ করে গেলে কি একসময়ে প্যালিন্ড্রোমেই এসে থামে? এখনও এই প্রশ্নের মীমাংসা হয়নি। তবে অধিকাংশ ক্ষেত্রেই এই ব্যাপারটা ঘটতে দেখা গেছে। কোনও কোনও ক্ষেত্রে বেশ কয়েক ধাপ কষতে হয়—

৯৮৩ + ২৮৯ = ১৩৭২ ” ১৩৭২ + ২৭৩১ = ৪১০৩ ” ৪১০৩ + ৩০১৪ = ৭১১৭!

৯৩৬ + ৬৩৯ = ১৫৭৫ ” ৭৩২৬ ” ১৩৫৬৩ ” ৫০০৯৪ ” ৯৯০৯৯!

মনে হয় সব সংখ্যাই বুঝি শেষে প্যালিন্ড্রোম হয়ে যাচ্ছে। কোনও কোনও ক্ষেত্রে অবশ্য অনেকগুলি যোগ করতে হচ্ছে। যেমন ৮৯ (বা ৯৮) থেকে শুরু করলে ২৪ ধাপ পরে যে প্যালিন্ড্রোমে গিয়ে তা শেষ হয় সেটা হল, ৮৮১৩২০০০২৩১৮৮!

৬৯৯৯ ও ৭৯৯৮ সংখ্যাদুটি (বা তাদের উল্টো) উভয়মুখী হতে নেয় ২০টি ধাপ। অতএব দেখ যাচ্ছে সংখ্যাবিশেষে ব্যাপারটা বেশ পরিশ্রমসাধ্য।

তাহলে কি ধরে নেওয়া যায়, যথেষ্ট সংখ্যক সমষ্টিকরণ করে গেলে যে কোনও সংখ্যার জন্যেই এই সিদ্ধান্ত সত্য? উঁহু, তা বলা যাচ্ছে না। কেননা ১ থেকে ১০০০০এর মধ্যে ২৪৯টি এমন সংখ্যা আছে যাদের একশ’ ধাপ পরেও প্যালিন্ড্রোম পাওয়া যায়নি। ক্ষুদ্রতম ১৯৬-এর জন্যে দেখা গেছে ২৩৭৩১০ ধাপ পরেও কিন্তু এই প্রক্রিয়া শেষ হয়নি!

তবে এই সংখ্যাগুলির জন্যে আরও পরে যে উভয়মুখী সংখ্যা পাওয়া যাবে না তাও নিশ্চয় করে বলা যাচ্ছে না। অঙ্কশাস্ত্রে প্রমাণ না পেলে কিছুই ধরে নেওয়া হয় না। অতএব কোনও সিদ্ধান্ত স্থির হয়নি, প্রতিপাদ্যটি এখনও অমীমাংসিতই আছে।

জয়ঢাকের বৈজ্ঞানিকের দপ্তর