পনেরোর ধাঁধা
১৮৭০-এর দশকের শেষদিকে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে একটা খেলা খুব জনপ্রিয় হয়ে উঠেছিল। সে জনপ্রিয়তা এমন ব্যাপক হয়ে উঠল যে ব্যাপারটা খানিক বিপজ্জনকই হয়ে পড়ে। খেলাটার নাম ‘পনেরোর ধাঁধা’।
এরপর এই খেলা নিয়ে পাগলামোটা ইউরোপেও সংক্রমিত হল। পথে-ঘাটে, দোকানে-বাজারে, আপিসে-কাছারিতে—যেখানেই দেখো, লোকজন পনেরোর ধাঁধা নিয়ে ব্যস্ত। এমনকি চলতি গাড়িতেও ওতে মজে থাকা লোকজনের কমতি নেই। অবস্থা এতদূর গড়াল যে দোকানদার আর আপিসের কর্তারা কাজের সময় ও ধাঁধার দিকে ঘুরে তাকানোও নিষেধ বলে হুকুম জারি করল। হুজুগে লোকজন আবার এর জনপ্রিয়তার সুযোগ নিয়ে পনেরোর ধাঁধার টুর্নামেন্টও শুরু করে দিল এখানে ওখানে।
ধাঁধার প্রকোপ শেষমেশ রাইখস্ট্যাগেও (জার্মান পার্লামেন্ট) গিয়ে পৌঁছোয়। রাইখস্ট্যাগের পাকাচুলো মাথারা সেই ধাঁধা নিয়ে কেমন মগ্ন থাকতেন, সে-গল্প আছে সেখানকার এক ডেপুটি সিগুমন্ড গুন্টারের স্মৃতিচারণে।
ফরাসি রাজধানী প্যারিসে খেলাটা চলত খোলা আকাশের নীচে, বাগিচায়, পথে-ঘাটেও। ক্রমশই রাজধানী থেকে সেটা মফস্সল এলাকায় ছড়িয়ে পড়ে। এক ফরাসি লেখকের ভাষায়, ‘ফরাসি গ্রাম-শহরে এমন কোনও বাড়ি নেই যেখানে এই খেলা তার মাকড়শার জাল না ছড়িয়েছে।’
এ-বিষয়ে আর এগোবার আগে এই খেলাটার বিষয়ে খানিক জানিয়ে দেয়া যাক।
ওপরের ছবিটায় খেলনাটার ছবিটা দেখলেই চিনে ফেলা যাবে। প্লাস্টিকের এই খেলনাগুলো আমাদের দেশেও মেলে।
জিনিসটা একটা চ্যাপটা বর্গাকার বাক্স। তার মধ্যে ১ থেকে ১৫ লেখা পনেরোখানা টাইল সাজানো, আর একখানা ঘর খালি। ফলে একবারে একটা করে টাইল সরিয়ে আগের জায়গা থেকে নতুন জায়গায় নেয়া যায়। টাইলকে বোর্ড থেকে ওপরে তুলে নেয়া যাবে না। কেবল সামনে-পেছনে, ডাইনে-বাঁয়ে সরানো যাবে জায়গা থাকলে।
এ খেলার চ্যালেঞ্জটা হল, এই আদর্শ অবস্থায় থাকা একটা বোর্ড নিয়ে তার টাইলদের সরিয়ে সরিয়ে সংখ্যাদের বিভিন্নরকম সজ্জা তৈরি করা, অথবা সংখ্যাদের কোনও একটা বিশেষ সজ্জা থেকে শুরু করে এই গোড়ার আদর্শ সজ্জায় ফিরে আসা। নীচের ছবিটা দেখো (চিত্র ‘ক’)।
সঙ্গের ছবি দুটোর প্রথমটা হল আদর্শ সজ্জা। আর পরেরটা হল একটা চ্যালেঞ্জ সজ্জা (খেয়াল করে দেখো, পরেরটায় ১৪ আর ১৫ পালটাপালটি অবস্থানে রয়েছে।) তোমার চ্যালেঞ্জ হল, টাইল সরিয়ে সরিয়ে প্রথমটা থেকে দ্বিতীয় সজ্জায় বা দ্বিতীয়টা থেকে প্রথম সজ্জায় ফিরে আসা।
বলা বাহুল্য, এতে অজস্র রকম সজ্জা হয় আর তার থেকে আরও অজস্র রকম সজ্জায় যাওয়া যেতে পারে। ফলে এ-খেলা কখনোই একই খেলার বার বার পুনরাবৃত্তি হয় না বলে তা বোরিংও হয় না। আরও চমকপ্রদ ব্যাপার হল, দেখা যাচ্ছিল, এর এমন অনেক সজ্জা আছে যেগুলোকে কিছুতেই সমাধান করা যাচ্ছে না। ফলে সেই ১৮৮০ সাল নাগাদ এই ধাঁধা খেলার জনপ্রিয়তা তুঙ্গে পৌঁছেছিল। বড়ো বড়ো টুর্নামেন্ট আয়োজিত হত তখন এই পনেরোর ধাঁধাকে ঘিরে। অনেক সময় কিছু কিছু টুর্নামেন্টওয়ালারা এক-একটা নির্দিষ্ট সজ্জার চ্যালেঞ্জ ছুড়ে দিত। তা সমাধান করলে বিপুল টাকার পুরস্কার ঘোষণা করত। সেই লোভে প্রচুর লোক টিকিট কেটে খেলতে আসত, কিন্তু কেউই সে-চ্যালেঞ্জ সমাধান করতে পারত না। এতে টুর্নামেন্টওয়ালাদের বিপুল লাভ হত।
এই কাজে সবচেয়ে পটু ছিলেন খেলাটার আবিষ্কর্তা স্যাম লয়েড নিজে। তিনি নিউ ইয়র্কের এক খবরের কাগজে পনেরোর ধাঁধার একটা বিশেষ সজ্জার চ্যালেঞ্জ ছুড়ে দিয়ে ঘোষণা করে দেন, যে সেটা সমাধান করতে পারবে, তাকে তিনি ১,০০০ ডলার (এখনকার ৩৩,০০০ ডলার বা সাড়ে বত্রিশ লাখ টাকা) পুরস্কার দেবেন। (সেই বিশেষ সজ্জাটা হল ওপরের দু-নম্বর ছবিটা)
মজার খবর হল, স্যাম লয়েড এই ধাঁধার জন্য পেটেন্ট নিতে পারেননি। আমেরিকার পেটেন্ট অফিস তাঁকে প্রশ্ন করে, এই ধাঁধাটা সমাধান করা যায় কি না। (মানে ওপরের দু-নম্বর ছবিটা থেকে টাইল সরিয়ে সরিয়ে এক নম্বরে বা তার উলটোটা)। স্যাম লয়েড বলেন, না, সেটা সম্ভব নয়। তখন পেটেন্ট অফিস বলে, সেক্ষেত্রে জিনিসটা খুঁতো। পুরোপুরি কার্যকরী মডেল তা নয়। আর সম্পূর্ণ কার্যকরী না হলে সেই যন্ত্র বা আবিষ্কারকে পেটেন্ট দেয়া হত না সে-কালে।
এ-বিষয়ে স্যাম লয়েড কী বলছেন সেটা শুনে নেয়া যাক—
‘ধাঁধা বিশেষজ্ঞদের আশা করি মনে আছে, ১৮৭০-এর দশকে আমি একটা চ্যাপ্টা বাক্সে পনেরোটা টাইল ভরে তা দিয়ে তাঁদের কী হারে মাথা চুলকোতে বাধ্য করেছিলাম। ওতে তেরোটা টাইল পরপর সাজানো ছিল আর দু-খানা টাইল একে অন্যের জায়গা পালটাপালটি করে বসানো ছিল। একবারে একখানা করে টাইল এ-পাশ ও-পাশ সরিয়ে, বোর্ড থেকে কোনও টাইল তুলে না নিয়ে কেমন করে পনেরোটা টাইলকেই পরপর সাজানো অবস্থায় আনা যায়, সেটাই ছিল চ্যালেঞ্জ। যে এটা করতে পারবে তাকে ১,০০০ ডলার দেব বলে ঘোষণা করেছিলাম আমি। সে নিয়ে লোকজন যে কী ভীষণ ব্যস্ত হয়ে উঠেছিল, কী বলব! দোকানদাররা দোকান খুলতে ভুলে যেত, বড়ো বড়ো সরকারি কর্তারা ফাইল-টাইল ভুলে সারা দিনরাত ওর সমাধান খুঁজে কাটিয়ে দিত। ওর সমাধান খুঁজতে ব্যস্ত সারেংয়ের জাহাজ আটকে পড়ত বালির চরায়। রেলগাড়ির গার্ড ড্রাইভার স্টেশন এলে থামতে ভুলে যেত।
অবশেষে ১৮৮০-র পর, অঙ্কওয়ালারা অঙ্ক কষে প্রমাণ করে দিল, স্যাম লয়েডের ধাঁধার সমাধান বাস্তবে সম্ভবই নয়। শুধু তাই নয়, এ-খেলায় যতরকমের সজ্জা হয়, তার অর্ধেকই সমাধান করা কোনোমতেই সম্ভব নয়। অসাধু টুর্নামেন্টওয়ালারা এইটের সুযোগই নিচ্ছিল এতদিন।
এবারে এ-ধাঁধার রহস্যটা নিয়ে খানিক কথাবার্তা হোক তবে।
কাজটা হল, ওই খালি জায়গাটাকে কাজে লাগিয়ে নম্বর লেখা চ্যাপ্টা ব্লকগুলোকে ইতিউতি নাড়িয়ে চলা আর অবশেষে সবক’টা ব্লককে একটা সুষম সজ্জায় নিয়ে আসা।
ধরে নাও, একটা সজ্জা আছে, যাতে সব ব্লক একেবারে এলোমেলো হয়ে রয়েছে। (সঙ্গের ছবি)
এখানে আমার হাতে আছে ভুল অবস্থানে থাকা ১৫টা ব্লক আর তাদের নড়াচড়া করাবার জন্য মোট ষোলোটা জায়গা। এবারে এখান থেকে শুরু করে ব্লক সরিয়ে সরিয়ে ১-কে ৬-এর জায়গায় নিয়ে আসা যাবে। এরপর এই ১-এর ব্লকটাকে তার জায়গায় ফ্রিজ করে দেয়া হল। এরপর যদি খেলাটা চালাই, তাহলে আমার হাতে আছে ভুল অবস্থানে থাকা ১৪টা ব্লক আর তাদের নাড়াচাড়া করবার জন্য ১৫টা জায়গা। অতএব তাদের নাড়িয়ে চাড়িয়ে ২-কেও ঠিক জায়গায় নিয়ে আসা যাবে। এবারে ২-এর অবস্থানও ফ্রিজ হয়ে গেল। এবারে আমার হাতে ভুল অবস্থানে রইল আর ১৩টা ব্লক আর তাদের নাড়াচাড়া করাবার জন্য ১৪টা জায়গা। এইভাবে প্রত্যেকটা ধাপেই আমরা দেখছি, ফ্রিজ হওয়া ব্লকের সংখ্যা এক এক করে বাড়ছে, কিন্তু তা সত্ত্বেও ভুল অবস্থানে যতগুলো ব্লক থাকছে, তাদের নাড়াচাড়া করবার জন্য জায়গা থাকছে তার চেয়ে একটা করে বেশি।
[যারা উচ্চমাধ্যমিকের বীজগণিতের অঙ্ক কষতে শিখে গিয়েছ, তারা খেয়াল করবে, জিনিসটা অনেকটা এইরকম— একটা সমান্তরাল সমীকরণের সেট যাতে ভেরিয়েবল-এর সংখ্যার (পড়ো ভুল অবস্থানের টাইলের সংখ্যা) চেয়ে সমীকরণের সংখ্যা (পড়ো নড়াচড়া করাবার জায়গার সংখ্যা) বেশি। ফলে এই সমীকরণরা সমাধানযোগ্য]
এইভাবে এগোতে এগোতে শেষমেশ একটা ধাপ আসবে, যে ধাপে ১৩ সংখ্যা লেখা ব্লকটা ঠিক জায়গায় বসে যাবে ও ১ থেকে ১৩ ব্লকগুলোর অবস্থান ফ্রিজ হয়ে যাবে। এই সময় বোর্ডের অবস্থা দু-রকম হতে পারে। এই দুটো অবস্থা এইখানে আবার দেখানো হল:
বোর্ডে ব্লকগুলোর যতরকম এলোমেলো সজ্জা হয়, তাদের মধ্যে অর্ধেক ক্ষেত্রে শেষ ধাপে এর প্রথম অবস্থাটা আসবে। আর বাকি অর্ধেক ক্ষেত্রে শেষ ধাপে এই দ্বিতীয় অবস্থাটা আসবে। প্রথম অবস্থাটা এলে প্রবলেম সলভড। নিয়মিত সজ্জা এসে গিয়েছে। আর দ্বিতীয় অবস্থাটা এলে এবারে খেয়াল করো, এলোমেলো অবস্থায় রয়েছে দুটো ব্লক। কিন্তু তাদের ওপরে নীচে ও বাঁয়ে সব ব্লক সঠিক জায়গায় ফ্রিজ হয়ে গেছে। ফলে এক্ষেত্রে একমাত্র ডাইনে বাঁয়ে ছাড়া আর তাদের কোনও জায়গা নেই। এর বেশি দিকে নাড়াতে গেলে ফ্রিজ হওয়া ঘুঁটিদের সরাতে হবে। সেটা হলে গোটা সজ্জাটাই ভেঙে যাবে ফের। ফলে এই দুই ঘুঁটিকে সঠিক সজ্জায় আনা অসম্ভব।
এক কথায় এ-খেলায় অর্ধেক ক্ষেত্রেই সমাধান সম্ভব নয়।
এবারে একটা আকর্ষণীয় টিপস দিই। ধরো তোমাকে একটা এলোমেলো সজ্জা দিয়ে বলা হল সঠিক সজ্জায় আনো। তুমি কী করে বুঝবে শেষমেশ তুমি ওতে ওপরের প্রথম সজ্জায় পৌঁছুবে, না দ্বিতীয় সজ্জায়? যে-কোনো একটা সজ্জা থেকে ব্লক সরিয়ে সরিয়ে এই শেষ দুটো অবস্থানে পৌঁছোবার সম্ভাবনা তো ৫০:৫০।
ফের একবার চিত্র ‘খ’-এর এলোমেলো সজ্জাটা নিয়ে কাজ শুরু
করা যাক। প্রথমে দেখছি, এখানে বেশ কিছু ভুল সজ্জা আছে। সেগুলো হল—
৯ আছে ৮-এর আগে
১৪ আছে ১২-র আগে
১৪ আছে ১৩-র আগে
১৪ আছে ১১-র আগে
১২ আছে ১১-র আগে
১৩ আছে ১১-র আগে
মোট ৬ খানা ভুল সজ্জা। অর্থাৎ, জোড়সংখ্যক ভুল সজ্জা।
এবারে আর একটা এলোমেলো সজ্জা নেয়া যাক। এখানেও
ওপরের প্রথম পাঁচখানা ভুল সজ্জা রয়েছে, কিন্তু ছ’নম্বর ভুল সজ্জাটা নেই। (১৩ এখানে ১১-র পরেই রয়েছে)
অতএব এক্ষেত্রে মোট ৫ খানা ভুল সজ্জা। অর্থাৎ, বিজোড়সংখ্যক ভুল সজ্জা।
আহরেনস দেখিয়েছিলেন, কোনও প্রাথমিক সজ্জায় যদি জোড়সংখ্যক ভুল সজ্জা থাকে, তাহলে তাকে ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,১০,১১,১২,১৩,১৪,১৫ সজ্জায় আনা সম্ভব হয়। আর কোনও প্রাথমিক সজ্জায় যদি বিজোড়সংখ্যক ভুল সজ্জা থাকে, তাহলে তাকে ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,১০,১১,১২,১৩,১৪,১৫ সজ্জায় আনা সম্ভব হয় না। সেটা শেষমেশ কোনও প্রাথমিক সজ্জায় যদি জোড়সংখ্যক ভুল সজ্জা থাকে, তাহলে তাকে ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,১০,১১,১২,১৩,১৫,১৪ এই সজ্জায় এসে আটকে যায়।
এবারে এসো এ খেলা আবিষ্কর্তা স্যাম লয়েডের দেয়া তিনটে সজ্জায়। এদের প্রত্যেকটারই সমাধান সম্ভব। তোমার চ্যালেঞ্জ হবে সমাধানগুলো খুঁজে বের করা।
চ্যালেঞ্জ ১:
বাঁয়ের সজ্জা থেকে শুরু করে ডাইনের সজ্জাতে পৌঁছোও।
চ্যালেঞ্জ ২:
চ্যালেঞ্জ ৩:
একটা আদর্শ সজ্জায় থাকা ব্লক নিয়ে শুরু করো। তারপর টাইল সরিয়ে সরিয়ে তাকে একটা ম্যাজিক বক্সে বদলে দাও, মানে এমন একটা সজ্জা তৈরি করো যাতে তার যে-কোনো সারির যোগফল ৩০ হয়।
——————————–
উত্তর—
চ্যালেঞ্জ ১:
এই ব্লকগুলো পরপর সরাতে হবে—
১৪,১১,১২,৮,৭,৬,১০,১২,৮,৭,৪,৩,৬,৪,৭,১৪,১১,১৫,১৩,৯,১২,৮,৪,১০,৮,৪,১৪,১১,১৫,১৩,৯,১২,৪,৮,৫,৪,৮,৯,১৩,১৪,১০,৬,২,১
চ্যালেঞ্জ ২:
এই ব্লকগুলো পরপর সরাতে হবে
১৪,১৫,১০,৬,৭,১১,১৫,১০,১৩,৯,৫,১,২,৩,৪,৮,১২,১৫,১০,৩,৯,৫,১,২,৩,৪,৮,১২,১৫,১৪,১৩,৯,৫,১,২,৩,৪,৮,১২
চ্যালেঞ্জ ৩:
এই ব্লকগুলো পরপর সরাতে হবে
১২,৮,৪,৩,২,৬,১০,৯,১৩,১৫,১৪,১২,৮,৪,৭,১০,৯,১৪,১২,৮,৪,৭,১০,৯,৬,২,৩,১০,৯,৬,৫,১,২,৩,৬,৫,৩,২,১,১৩,১৪,৩,২,১,১৩,১৪,৩,১২,১৫,৩
বৈজ্ঞানিকের দপ্তর সব লেখা একত্রে