১। (ক) একটা ব্যাগে অনেকগুলো সাদা আর কালো বল আছে। দু’টো যে কোনও একই রঙের (সাদা অথবা কালো) বল পেতে হলে না দেখে ঐ ব্যাগ থেকে অধিকতম ক’টা বল তুলতে হবে? তিনটে একই রঙের বল পেতেই বা ক’টা বল তুলতে হবে?

(খ) ঐ ব্যাগে যদি তিন রকম রঙের, ধরা যাক সাদা, কালো আর লাল বল থাকে তাহলে দু’টো যে কোনও একই রঙের (সাদা, কালো অথবা লাল) বল পেতে হলে না দেখে ঐ ব্যাগ থেকে অধিকতম ক’টা বল তুলতে হবে? তিনটে একই রঙের বল পেতেই বা ক’টা বল তুলতে হবে? ঐ ব্যাগে লাল বলের সংখ্যা একটাই হলে, তিনটি একই রঙের বল পেতে অধিকতম ক’টা বল তুলতে হবে?

২। তিনটি পাঁচ টাকার আর তিনটি দশ টাকার মুদ্রা তিনটে বাক্সে ভাগ করে রাখা হল, বাক্সপ্রতি দু’টি করে মুদ্রা। বাক্সগুলোর ওপরে লেখা আছে ১০/-, ১৫/- এবং ২০/-, কিন্তু কোনটার মধ্যেই লিখিত রাশির সমান টাকা নেই। যে কোনও একটা বাক্স থেকে একটা মাত্র মুদ্রা বার করে দেখে বলতে হবে কোন বাক্সে কত টাকা আছে। মুদ্রার আকার বা মাপের কোনও তফাৎ নেই ধরে নিতে হবে।

৩। সেনবাবু ও তাঁর স্ত্রীকে তিনটে কাজ করতে হবে¾ ঘর সাফ করা, কাপড় কাচা ও বাচ্চাকে খাওয়ানো। প্রতিটা কাজ করতে লাগে এক ঘন্টা করে। বাড়িতে একটা ভ্যাকুয়াম ক্লিনার আর একটাই ওয়াশিং মেশিন আছে। সেনবাবুরা দুইজনে মিলে কত কম সময়ে তিনটি কাজ শেষ করতে পারেন?

৪। প্রফেসর ট্যাঞ্জেন্টের পোষ্যদের মধ্যে দুটি ছাড়া আর সব কুকুর, দুটি ছাড়া আর সব বিড়াল এবং দুটি বাদে আর সবই টিয়াপাখি। প্রফেসর ট্যাঞ্জেন্টের মোট ক’টি পোষ্য?

৫। মেডিক্যাল স্টোরে একটা ওষুধ ভুল সরবরাহ হয়েছে। জানা গেছে দশ শিশির এক কার্টনে একটা শিশি আছে যার বড়িগুলো দশ গ্রাম করে বেশি ওজনের। ধরা যাক প্রতিটা শিশিতে ৩০০ করে বড়ি আছে, প্রতি বড়ির সঠিক ওজন দশ গ্রাম করে । দশটা শিশিকেই ওজন করে ফেললে অবশ্য বেশি ওজনের শিশিটা বার করে ফেলা যায়। ভাগ্য ভাল থাকলে আরও কম সংখ্যক ওজন করেও কাজটা হতে পারে, কিন্তু শুধুমাত্র একবার ওজন করেই সঠিক বার করা যায় কি কোন শিশিতে বেশি ওজনের বড়িগুলো আছে?

৬। ক-বাবু পুরো জানুয়ারি মাসের জন্যে এক হোটেল বুক করলেন। হোটেলের ভাড়া দৈনিক এক হাজার টাকা। আর হোটেলের নিয়ম অনুযায়ী ক-বাবুকে রোজকার রুমরেন্ট রোজ দিতে হবে। ক-বাবুর কাছে নগদ টাকা যথেষ্ট নেই, কিন্তু একটা সোনার চেন আছে। চেনটাতে ৩১টা রিং আছে, প্রত্যেকটার মূল্য হাজার টাকা। যেহেতু ভাড়া রোজ দিতে হবে, তাই ক-বাবু ঠিক করলেন চেনটাকে কাটবেন। রিংগুলো দিয়ে ঘরভাড়া দেবেন। কিন্তু দামি চেন। কত কম সংখ্যক রিং কেটে ক-বাবু পুরো মাস হোটেলে থাকতে পারবেন?

সমাধান।

১। এগুলো সবই গণিতশাস্ত্রের ‘কবুতরখানা’ নীতির একেবারে প্রাথমিক স্তরের প্রশ্ন। কবুতরখানা নীতি শক্ত কিছুই নয়। সোজা কথায় পায়রার খোপের চেয়ে পায়রার সংখ্যা যদি বেশি হয়, তাহলে অন্তত একটা খোপে একাধিক পায়রা থাকবেই। আর কম হলে অন্তত একটা খোপ খালি থাকবেই। এই সহজবোধ্য ব্যাপারটার ওপরেই নির্ভরশীল কবুতরখানা নীতির সিদ্ধান্তগুলি।

(ক) ব্যাগ থেকে প্রথম বলটা সাদা অথবা কালো যা হোক হতে পারে, ধরা যাক সাদা। পরের বলটা যদি সাদা হয় তাহলে আমরা দু’টো একই রঙের বল পেয়ে গেলাম। কিন্তু তা নাও হতে পারে। ধরা যাক এবার কালো বল এল। তাহলে একটা সাদা আর একটা কালো বল পাওয়া গেল। এখন তৃতীয় বলটা যাই হোক না কেন দু’টো একই রঙের বল পাওয়া হয়ে গেল। উত্তরঃ তিন। একটু ভেবেই পাওয়া যায় তিনটি একই রঙের বল পেতে বড়জোর পাঁচটা বল তুলতে হবে, কেননা চারবারেও ‘সাফল্য’ না আসতে পারে, দুই রঙের দুটি করে বল এলে।

(খ) এক্ষেত্রে দীর্ঘতম ‘অসফল’ প্রচেষ্টা কী হতে পারে দেখা যাক। প্রথম তিনটে বলই তিন আলাদা রঙের হওয়া সম্ভব (না হলে তো দু’টো এক রঙের বল পাওয়া ‘সফল’)। চতুর্থ ড্র-তে কিন্তু যে রঙের বলই আসুক, সেই রঙের একটা বল ইতিমধ্যেই পাওয়া গেছে। সুতরাং উত্তরঃ চার। একইভাবে তিনটি একই রঙের বল পেতে বড়জোর সাতটা বল তুলতে হবে।

লাল বলের সংখ্যা এক হলে সেটা তিনটে পাওয়া সম্ভব নয়। একটু ভেবে দেখলেই পাওয়া যাবে, এক্ষেত্রে ‘অসফল’ প্রচেষ্টা হতে পারে পাঁচবার, দু’টি করে সাদা আর কালো বল ও ঐ লাল বলটা। সুতরাং ষষ্ঠবারে পাওয়া যাবে হয় সাদা নয় কালো বল। উত্তরঃ ছয়।

২। বাক্সগুলোর কোনটায় কি আছে জানা নেই কিন্তু সম্ভাবনাগুলো বেশি নয়। বাক্সগুলোর একটায় দুটো পাঁচ টাকা অর্থাৎ মোট দশ টাকা, আর একটায় দুটো দশ টাকা অর্থাৎ মোট কুড়ি টাকা আর তৃতীয়টায় একটা পাঁচ ও একটা দশ টাকার মুদ্রা অর্থাৎ মোট পনের টাকা আছে। যেহেতু ওপরে যা লেখা আছে ভেতরে তা নেই, সুতরাং ১৫/- লেখা বাক্সে হয় দশ নয়তো কুড়ি টাকা আছে। অর্থাৎ পাঁচ বা দশ টাকার দুটি করে মুদ্রা আছে। এই বাক্স থেকে একটা মুদ্রা তুলে সেটা দেখে নিলেই জানা যাবে কোথায় কী আছে। পাঁচ পাওয়া গেলে এই বাক্সে দশ টাকা আছে (দুটো পাঁচ), আর দশ পাওয়া গেলে কুড়ি (দুটো দশ)। সেই অনুযায়ী ১০/- (অথবা ২০/-) লেখা বাক্সে পনের টাকা আর ২০/- (অথবা ১০/-) লেখা বাক্সে দশ (অথবা কুড়ি) টাকা থাকবে।

৩। মনে হতে পারে শ্রী ও শ্রীমতী সেন দুটি কাজ একসাথে করে একঘন্টা বাঁচিয়ে মোট দুই ঘন্টায় তিনটি কাজ শেষ করতে পারেন। কিন্তু আরও আধঘন্টা সাশ্রয়ের সুযোগ আছে।

ধরা যাক সেনবাবু ওয়াশিং মেশিনে কাপড় কাচা ও শ্রীমতী সেন বাচ্চাকে খাওয়াতে শুরু করলেন। আধঘন্টা পরে সেনবাবু কাপড় কাচা ছেড়ে ঘর সাফ করা শুরু করে দিলেন। আরও আধঘন্টা পরে শ্রীমতী সেন বাচ্চাকে খাওয়ানো শেষ করলেন। তখনও সেনবাবুর ঘর সাফ করার আধঘন্টা বাকি। সেই আধঘন্টায় শ্রীমতী সেন অসমাপ্ত কাপড় কাচার কাজটি শেষ করে ফেললেন। তাহলে মোট সময় লাগল দেড় ঘন্টা।

গণিতে সমীকরণের সহগের বিভিন্ন সমবায়ে চলরাশির লঘিষ্ঠ বা গরিষ্ঠ মান নির্ণয়ের পদ্ধতিকে বলা হয় লিনিয়ার প্রোগ্রামিং যা অপারেশন রিসার্চের এক বিশিষ্ট অঙ্গ।

৪। এখানে ‘আর সব’ বাক্যাংশটাই বিভ্রান্তি ঘটায়, নয়তো প্রশ্নটি অতি সাধারণ সমীকরণ সমাধানের। ‘আর সব’ বলতে যে এক হওয়াও সম্ভব এইটা প্রথমত মনে আসে না।

পোষা কুকুর, বিড়াল ও টিয়াপাখীর সংখ্যা যথাক্রমে   x,y,z  হলে প্রদত্ত সমীকরণগুলি হল, n-2=x, n-2=y, n-2=z যেখানে n=x+y+z

সমীকরণগুলি খুব সহজেই সমাধান করে পাওয়া যায়, প্রফেসর ট্যাঞ্জেন্টের একটি করে কুকুর, বিড়াল ও টিয়াপাখি আছে।

৫। প্রথমে শিশিগুলোতে ১,২,৩,…,৯,১০ এইভাবে নম্বর লাগিয়ে দেওয়া হল। এইবার প্রথম শিশি থেকে একটা গুলি, দ্বিতীয় শিশি থেকে দু’টো, তৃতীয় থেকে তিনটে এইভাবে মোট ৫৫টা গুলি সংগ্রহ করে ওজন করা হবে। ওজন ৫৫০ গ্রামের চেয়ে যত বেশি হবে, তাকে ১০ দিয়ে ভাগ দিলেই পাওয়া যাবে ত্রুটিপূর্ণ শিশিটির সংখ্যা।

৬। সব রিং খুলে নিলে তো কাজ হয়েই যায়। তা করা চলবে না। ক-বাবুর উদ্দেশ্য হল ঐ ৩১ রিঙের চেনকে এমনভাবে কয়েক টুকরো করতে হবে যাতে ১ থেকে ৩১ সংখ্যক রিং আদান-প্রদানের মাধ্যমে তিনি হোটেলে দিতে পারেন। দ্বিঘাতীয় বীজগণিত জানা থাকলে আর কোনও সমস্যা নেই। চেনটিকে এমনভাবে টুকরো করতে হবে যাতে প্রতিটিতে রিঙের সংখ্যা ২এর ঘাতের ক্রমে থাকে। অর্থাৎ মোট পাঁচটা টুকরো করতে হবে, যাতে রিং থাকবে যথাক্রমে ১, ২, ৪, ৮ ও ১৬ টি। পরীক্ষা করলেই দেখা যাবে এর দ্বারা ১ থেকে ৩১ যেকোনো সংখ্যক রিং তিনি হোটেলে জমা করতে পারবেন।  (অর্থাৎ, প্রথমদিন তিনি একটা রিং দেবেন। দ্বিতীয়দিন দুটো রিঙের টুকরোটা দিয়ে আগের দিনের একটা রিং ফেরৎ নেবেন। তৃতীয়দিন ফের ওই একটা রিং দেবেন। চতুর্থদিন চারটে রিঙের টুকরোটা দিয়ে আগে দেয়া তিনখানা রিং ফেরত নেবেন এইভাবে।)